複素解析(1)
大学院の試験の前に、友人と解析の復習をして、自分はそのとき複素解析の発表をした。そのときのノートをここにまとめてみようと思う。
全体の進め方は、HörmanderのAn introduction to complex analysis in several variablesの1章(とくに、1,2,4節)を参考にした。扱うことがらは、正則関数と有理形関数の性質である。Cauchyの積分公式がもっとも大切な定理で、ここからさまざまな性質がしたがう。
正則関数の定義において、$C^1$級を仮定したが、(偏)導関数の連続性を仮定する必要はない(その場合の話は、さしあたり、Ahlforsの教科書などを参照してください)。しかし、仮定しておくと、Stokesの定理が使えて、Cauchyの積分定理を導く議論が単純になるので、そのように進めることにした。これにより、微分形式に関する知識をいくつか使うことになる。微分形式を知らなければ、その部分の結果(すなわち、Cauchyの積分定理)をひとまず認めることにしても差し支えないと思う。
誤りはできるだけなくすように努力するつもりですが、お気づきの点があればコメント欄に書き込んでいただけると幸いです。また、keeee29さんの取ってくれたノートを参考に執筆しています。感謝申し上げます。
(1)正則関数
定義1 $\Omega \subset \Bbb{C}$を開集合とする。$f:\Omega \to \Bbb{C}$を$C^1$級写像とする。
このとき、$z,\bar{z}$による$f$の偏微分を、
\[\frac{\partial f}{\partial z} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{i} \frac{\partial f}{\partial y} \right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{1}{i} \frac{\partial f}{\partial y} \right)\]
によって定める。
ただし、$f$が$C^1$級といったときは、自然な同一視$\Bbb{C}\cong\Bbb{R}^2$により、$\Omega$などを$\Bbb{R}^2$の開集合とみなし、$\Bbb{R}^2$の実座標についての微分可能性を考えている。□
注2 この定義は、$dz=dx+idy,d\bar{z}=dx-idy$とおいたときに、$f$の外微分$df$が、
\[df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy = \frac{\partial f}{\partial z}dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z}\]
をみたすように定めたものである。□
定義3 $f:\Omega \to \Bbb{C}$を$C^1$級写像とする。
$f$が$\Omega$上正則であるとは、$\Omega$上で$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\equiv 0$がなりたつことをいう。□
注4 $f=u+iv$とおく(このような書き方をした場合、断りなく$u,v$は実関数だと仮定する)。$f$が正則であるとき、
\[0=\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{i} \frac{\partial }{\partial y} \right) (u+iv)\]
\[=\frac{1}{2}(u_x+iv_x+iu_y-v_y)\]
だから、$u_x=v_y,v_x=-u_y$をえる(Cauchy-Riemann方程式)。
これは、次の条件と同値である：
「極限 $\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$がすべての$z \in \Omega$に対して存在する。」
$f$が正則のとき、この極限は$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}$に等しくなる。そこで、$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}$のことを$f'$ともかく。□
$\Omega$上の正則関数の集合を$\mathcal{O}(\Omega)$とかく。
$S \subset \Bbb{C}$に対し、$S$のある近傍上で正則な関数の全体を$\mathcal{O}(S)$とかく。
命題5 正則関数の和・積・合成も正則である。□
証明 合成についてだけ示す。$f \in \mathcal{O}(\Omega),g \in \mathcal{O}(f(\Omega))$に対し、$g \circ f \in \mathcal{O}(\Omega)$を示す。
\[\frac{\partial}{\partial\bar{z}}(g \circ f)\]
\[=\frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial (\frac{f+\bar{f}}{2})}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial (\frac{f-\bar{f}}{2i})}{\partial \bar{z}}\]
\[=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}+\frac{1}{i}\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}-\frac{1}{i}\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}\right)\]
\[=\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}=0\]
より、$g \circ f$も正則。■
例6 $z \in C^1(\Bbb{C})$は正則である(ちょっと計算すればわかるので省略)。また、定数関数も正則である。したがって、命題5から、複素数係数の多項式$P \in \Bbb{C}[z]$は$\Bbb{C}$上正則である。□
